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Analyse vectorielle 
Voici un exemple extrait d'un cours d'analyse vectorielle:

Cet exemple utilise le calcul vectoriel, les coordonnées cylindriques et le calcul différentiel et intégral:

 Lien:

 Loi de Biot et Savart

 Calcul d'un champ

La loi de Biot-Savart donne le champ magnétique créé par un courant électrique.

Un élément de longueur $d\vec{l}$ situé au point $A$ d'un fil parcouru par un courant $I$ crée un élément de champ magnétique $d\vec{B}$ en un point $P$ $$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\, I \, \frac{d\vec{l} \wedge \vec{r}}{r^3}$$ où $\vec{r} = \overrightarrow{AP}$.

Dans notre cas, en coordonnées cylindriques, nous n'avons que la composante selon $\theta$ qui est non nulle, en effet $d\vec{B}$ est tangent en $P$ au cercle situé dans le plan perpendiculaire au fil, passant par P.

Pour éviter des confusions, remplaçons $\vec{r}$ par $\vec{d} = \overrightarrow{AP}$.

Nous avons $$||d\vec{l} \wedge \vec{r}|| = dl \cdot d \cdot \sin(\alpha) = dl \cdot d \cdot \cos(\beta) $$ $$dB_{\theta} = \frac{\mu_0}{4\pi}\, I \,\frac{dl \cdot d \cdot \cos(\beta) }{d^3} =\frac{\mu_0}{4\pi}\, I \,\frac{dl \cdot \cos(\beta) }{d^2}$$

Comme nous allons intégrer sur $\beta$, il faut exprimer les variables en fonction de $\beta$. En premier lieu, la différentielle: $$l = r \cdot \tan(\beta) \Rightarrow dl = r \cdot \frac{1}{ \cos^2(\beta)}$$ Ensuite $d$: $$d = \frac{r}{\cos(\beta)}$$ En substituant on arrive à $$dB_{\theta} = \frac{\mu_0}{4\pi}\, I \,\frac{\cos(\beta) }{r} \,d \beta$$


Le courant est donné par l'intégrale sur $-\pi/2 \le \beta \le \pi/2$, ou, par symétrie, sur $0 \le \beta \le \pi/2$: $$B = B_{\theta} = \int dB_{\theta} = 2\cdot\frac{\mu_0}{4\pi}\, I \, \frac{1 }{r}\int_0^{\pi/2} \cos(\beta)\,d \beta = \boldsymbol{\frac{\mu_0 I}{2\pi r}}$$