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Ci-dessous, vous trouverez deux exemples de recherche, une came et le compas elliptique, les fichiers complets et d'autres recherches, les cours, exercices et corrigés sont listés au bas de la page.

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 Profil d'une came excentrée négativement

Lors de l'usinage de la came (en rouge), celle-ci est fixe et c'est le galet (en noir) qui tourne.

Le centre du galet décrit la "pitch curve" (en bleu), qui est une courbe parallèle à la came.

Le centre du galet passe par la normale à la came.

La came est excentrée, c'est comme si le centre du galet tournait autour d'un point qui, li-même, tourne autour du centre.

Dans l'étude complète, il sera aussi question de la courbure de la came, de la vitesse, de l'accélération et du jerk du suiveur, de l'angle de pression, de la pression de Hertz, du rendement, du couplel d'entraînement, etc...







 Calcul du profil de la came

L'utilité des cames en mécanique n'est plus à démontrer. Le profil d'une came est conçu pour ne pas avoir d'à-coups lors des montée et descente de came. On est ainsi amené à chercher des fonctions normalisées $f(z)$, $o \le z \le 1$, vérifiant $$f(0) = f'(0) = f''(0) = f'(1) = f''(1) = 0 \, ,\, f(1) = 1$$ Différentes fonctions sont utilisées, une des plus simples est un polynôme de degré 5: $$f(z) = a_5 z^5 + a_4 z^4 + a_3 z^3 + a_2 z^2 + a_1 z + a_0$$ Le calcul différentiel et l'algèbre linéaire donne la solution du système de 6 équations à 6 inconnues: $$a_0 = a_1 = a_2 = 0 \, ,\,a_3 = 10, \, \,a_4 = -15 \, ,\, a_5 = 6$$ Ainsi $$f(z) = 6 z^5-15 z^4+10 z^3$$ Ce polynôme est représenté sur la figure de gauche ci-dessus.

Un passage par les coordonnées polaires permet d'avoir les équations du profil de la came, dessinée sur la figure de droite ci-dessus.

 Came et polynôme



 Compas elliptique

Ellipse
L'image représente une barre AB coulissant sur deux rails perpendiculaires OX et OY,

un point P de la barre décrit une ellipse.

En modifiant la position de P sur la barre, on peut changer les demi-axes a = PB et b = PA de celle-ci.
Ceci est à la base du compas elliptique.

En notant $\varphi$ l'angle de rotation de la barre, un peu de trigonométrie nous donne les équations paramétriques de l'ellipse: $$ \begin{eqnarray} x & = & a \cos(\varphi) \\ y & = & b \sin(\varphi) \end{eqnarray} $$

A partir de là, de nombreuses questions peuvent se poser à l'esprit curieux.
Par exemple,
  • obtient-on toujours une ellipse si le point P est lié à la barre, mais en dehors de celle-ci?

  • et si les axes ne sont plus perpendiculaires?

    La réponse est oui aux deux questions.


  • Astroïde


    Quelle est l'enveloppe de la barre? Autrement dit, où puis-je mettre le doigt en toute sécurité?

    La réponse est une courbe appelée astroïde, ayant pour équations paramétriques: $$ \begin{eqnarray} x & = & L \cos^3(\varphi) \\ y & = & L \sin^3(\varphi) \end{eqnarray} $$ où $L = a+b$.

    Sur l'image (noire) on voit l'enveloppe apparaître en superposant plusieurs positions de la barre.

    Les équations paramétriques de l'enveloppe s'établissent ainsi: pour un $\varphi$ donné,
    la droite supportant la barre admet l'équation cartésienne $$y = - \tan(\varphi) x + L \sin(\varphi)$$ On dérive celle-ci par rapport à $\varphi$: $$0 = - \frac{1}{\cos^2(\varphi)} \, x + L \cos(\varphi)$$ Et on isole $x$ et $y$ en fonction de $\varphi$ et on en déduit ainsi les équations paramétriques de l'astroïde.

    En éliminant le paramètre, on peut obtenir son équation cartésienne: $$x^{2/3} + y^{2/3} = L^{2/3}$$ En éliminant les exposants fractionnaires, on obtient $$\left(L^2-x^2-y^2\right)^3=27 L^2 x^2 y^2$$ Ce qui indique que la courbe est algébrique de degré 6.


    La courbe est aussi l'enveloppe des ellipses obtenues en faisant varier le point P sur la barre
    (image rouge).





    Cercle
    Autre question: quel est le mouvement du cercle de diamètre AB ?

    C'est le mouvement engendré par un cercle roulant, sans glisser, dans un cercle de rayon double.





    Centre instantané de rotation
    Cette nouvelle animation nous montre que le point de contact I des deux cercles est le
    centre instantané de rotation de la barre: à chaque instant, la barre tourne autour du point I.

    Cela a pour conséquence que le vecteur vitesse du point P est perpendiculaire à PI,
    il indique aussi la tangente à l'ellipse.

    Le point de contact I des deux cercles est le centre instantané de rotation.




    Point de contact de la barre


    Soit K le point de contact de la barre et de son enveloppe, les segments KI et AB sont constamment perpendiculaires.

    Voyons maintenant un paradoxe:

    En un tour complet, le point K parcourt 4 fois la barre, il effectue un trajet de longueur 4L.

    Mais le même point K décrit décrit aussi l'astroïde dont la longueur se calcule ainsi: $$L = 4 \int_0^{\pi/2} \, \sqrt{x'^2(\varphi) + y'^2(\varphi)} = 4 \int_0^{\pi/2} \, \frac{3}{2} \, L \sin(2\varphi) = 6L$$


    Mon explication de ce paradoxe est la suivante:

    La vitesse de K sur l'astroïde est $$v_K = \frac{3}{2} L \dot{\varphi} \sin(2\varphi)$$ la vitesse de ce même K sur la barre est $$L \dot{\varphi} \sin(2\varphi) = \frac{2}{3}\, v_K$$

    Dans le langage des engrenages,
    on peut considérer la barre comme une roulante et l'astroïde comme une base, mais le mouvement a lieu en glissant et la vitesse de glissement est $$\frac{1}{2} L \dot{\varphi} \sin(2\varphi) = \frac{1}{3}\, v_K$$

    Par contre le point $I$ de contact entre les deux cercles parcourt le même trajet sur le petit cercle et sur le grand, les deux cercles roulent sans glisser.




    Points de contact de l'ellipse et de l'astroïde


    Comme on peut le voir sur la figure, il y a 4 points de contact entre l'ellipse et l'astroïde, ce sont les valeurs de $\varphi$ pour lesquelles les points P et K coïncident.

    Les coordonnées du point de contact situé dans le premier quadrant sont $$\left(\sqrt{\frac{a^3}{L}} \, ; \, \sqrt{\frac{b^3}{L}}\right)$$ pour la valeur de l'angle égale à $$\varphi = \arccos\left(\sqrt{\frac{a}{L}}\right)$$

    La pente de la barre est alors égale à $$- \sqrt{\frac{b}{a}}$$

    Qu'est-ce qui caractérisent ces points?

    Nous laissons cette question au lecteur.




    Développée de l'ellipse


    Rappelons que le centre de courbure en un point P d'une courbe Γ est le point C de la normale positive situé à la distance ρ de P.

    ρ est le rayon de courbure, il est donné par $$\rho = \frac{\left(\dot{x}^2 + \dot{y}^2\right)^{3/2}}{\ddot{y} \dot{x} - \ddot{x} \dot{y}}$$ Le cercle de courbure est le cercle centré au centre de courbure et de rayon égal au rayon de courbure.

    La courbe décrite par C lorsque P varie est la courbe développée de la courbe Γ.

    La développée de la courbe Γ est aussi l'enveloppe des normales à Γ.
    Ou encore, les tangentes à la développée sont normales à Γ.

    Dans le cas d'une ellipse, la développée est aussi une astroïde,
    la question légitime est de comprendre s'il y a un lien avec l'enveloppe de la barre.

    Des calculs un peu plus compliqués, mais qui se simplifient nous donnent les équations paramétriques de la développée de l'ellipse: $$ \begin{eqnarray} x & = & \frac{a^2-b^2}{a}\, \cos^3(\varphi) \\ y & = & \frac{b^2-a^2}{a}\, \sin^3(\varphi) \end{eqnarray} $$ Comme on peut le voir, elle dépend de L et aussi de a.

    Sur le dessin, on observe bien que le segment PC est normal à l 'ellipse et tangent à la développée.
    Sa longueur est le rayon de courbure de l'ellipse en P.
    Il prend des valeurs extrêmes lorsque P est un des sommets de l'ellipse.




    Just for fun!
    En générale, les courbes développées des ellipses,
    pour différents points P, ne touchent pas le cercle$(O)$.
    sauf pour deux positions du point P: il doit être situé au tiers de la barre,
    donc $a = \frac{1}{3}\,L$ ou $a = \frac{2}{3}\,L$.

    Une des coordonnées d'un des points de croisement de ces deux développées est $$ \left(\frac{1+2^{4/3} - 2^{2/3}}{5}\right)^{3/2} $$

    Ils sont situés sur les bissectrices des axes.

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